2017-2018学年上海实验学校高中三年级（上）第三次月考数学试题
1、填空题：本大题共14个小题，每小题4分，共56分.
1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=__________．
2．已知P1（1，a1）、P2（2，a2）…Pn（n，an）、…是直线上的一列点，且a1=﹣2，a2=﹣1.2，则这个数列{an}的通项公式是__________．
3．设0＜θ＜
，
=（sin2θ，cosplayθ），
=（cosplayθ，1），若∥，则tanθ=__________．
4．已知单位向量
与
的夹角为α，且cosplayα=
，向量
=3﹣2与
=3
﹣
的夹角为β，则cosplayβ=__________．
5．函数y=3
，（﹣1≤x≤0）的反函数是__________．
6．函数f（x）=cosplay
（sin﹣
cosplay）的最小正周期为__________．
7．a，b是不等的两正数，若
=2，则b的取值范围是__________．
8．数列{an}的首项为a1=2，且an+1=
（a1+a2+…+an）（n∈N），记Sn为数列{an}前n项和，则Sn=__________．
9．若向量
与
夹角为
，
，
，则
=__________．
10．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若
•
=1，则λ的值为__________．
11．（理）若平面向量
满足|
|=1（i=1，2，3，4）且
=0（i=1，2，3），则|
|可能的值有__________个．
12．设f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥3f（x）恒成立，则实数a的取值范围是__________．
13．记Sn=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2n]（其中[x]表示低于x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2），则S2017=__________．
14．给定0≤x0＜1对所有整数n＞0，令
，则使x0=x6成立的x0的个数为__________．
2、选择题（每题5分，满分20分）
15．在△ABC中，“cosplayA+sinA=cosplayB+sinB”是“C=90°”的（）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
16．函数f（x）=cosplay（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）
A．（kπ﹣
，kπ+
），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z
C．（k﹣，k﹣），k∈Z D．（2k﹣，2k+），k∈Z
17．已知两个不相等的非零向量，，两组向量
，
，，，和，
，
，，
均由2个和3个排列而成，记S=
•+•+
•+
•
+
•
，Smin表示S所大概取值中的最小值，则下列命题中
（1）S有5个不一样的值；（2）若⊥则Smin与||无关；（3）若∥则Smin与||无关；（4）若||＞4||，则Smin＞0；（5）若||=2||，Smin=8||2，则与的夹角为
．正确的是（）
A．（1）（2） B．（2）（4） C．（3）（5） D．（1）（4）
18．记[x]为低于实数x的最大整数，比如：[2]=2，[1.5]=1，[﹣0.3]=﹣1，设a为正整数，数列{xn}满足：x1=a，
，现有下列命题：
①当a=5时，数列{xn}的前3项依次为5，3，2；
②对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时，总有xn=xk；
③当n≥1时，；
④对某个正整数k，若xk+1≥xk，则
；
其中的真命题个数为（）
A．4 B．3 C．2 D．1
3、答卷（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知函数
（1）求函数f（x）的值域，并写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）若
，且，计算cosplay2θ的值．
20．“活水围网”养鱼技术具备养殖密度高、经济效益好的特征．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在肯定的条件下，每尾鱼的平均成长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数．当x低于4（尾/立方米）时，v的值为2（千克/年）；当4≤x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20（尾/立方米）时，因缺氧等缘由，v的值为0（千克/年）．
（1）当0＜x≤20时，求函数v（x）的表达式；
（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年成长量（单位：千克/立方米）f（x）=x•v（x）能达到最大，并求出最大值．
21．已知函数f（x）=2
sin（
+）sin（﹣）﹣sin（π+x），且函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=对称．
（1）若存在x∈[0，），使等式[g（x）]2﹣mg（x）+2=0成立，求实数m的最大值和最小值
（2）若当x∈[0，]时不等式f（x）+ag（﹣x）＞0恒成立，求a的取值范围．
22．设Sn是各项均为非零实数的数列{an}的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：{an}是等差数列；命题q：等式对任意n（n∈N*）恒成立，其中k，b是常数．
（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；
（2）对于（1）中的k与b，问p是不是为q的必要条件，请说明理由；
（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{an}满足条件，试求Sn的最大值．
23．已知λ，μ为常数，且为正整数，λ为质数且大于2，无穷数列{an}的各项均为正整数，其前n项和为Sn，对任意正整数n，2Sn=λan﹣μ，数列{an}中任意两不同项的和构成集合A．
（1）证明无穷数列{an}为等比数列，并求λ的值；
（2）假如2010∈A，求μ的值；
（3）当n≥1，设集合
中元素的个数记为bn，求bn．
2017-2018学年上海实验学校高中三年级（上）第三次月考数学试题
参考答案与考试试题分析
1、填空题：本大题共14个小题，每小题4分，共56分.
1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=__________________________________________________．
【考试知识点】并集及其运算．
【剖析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后取并集得答案．
【解答】解：∵M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}=（0，1]，
则M∪N=[0，1]．
故答案为：[0，1]．
2．已知P1（1，a1）、P2（2，a2）…Pn（n，an）、…是直线上的一列点，且a1=﹣2，a2=﹣1.2，则这个数列{an}的通项公式是______________________________．
【考试知识点】数列递推式．
【剖析】通过设直线方程并代入P1（1，﹣2）、P2（2，﹣1.2）计算，进而可得结论．
【解答】解：设所在直线方程为：y=kx+b，
∵a1=﹣2，a2=﹣1.2，
∴，解得，
∴直线方程为：y=0.8x﹣2.8，
∴an=0.8n﹣2.8，
故答案为：an=0.8n﹣2.8．
3．设0＜θ＜，
=（sin2θ，cosplayθ），
=（cosplayθ，1），若∥，则tanθ=____________________．
【考试知识点】二倍角的正弦；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【剖析】借助向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出．
【解答】解：∵=（sin2θ，cosplayθ），=（cosplayθ，1），∥
，
∴sin2θ﹣cosplay2θ=0，
∴2sinθcosplayθ=cosplay2θ，
∵0＜θ＜
，∴cosplayθ≠0．
∴2tanθ=1，
∴tanθ=．
故答案为：．
4．已知单位向量
与的夹角为α，且cosplayα=，向量=3﹣2与
=3﹣的夹角为β，则cosplayβ=____________________．
【考试知识点】数目积表示两个向量的夹角．
【剖析】转化向量为平面直角坐标系中的向量，通过向量的数目积求出所求向量的夹角．
【解答】解：单位向量与的夹角为α，且cosplayα=
，可以=（1，0），=，
=3﹣2=（
），
=3
﹣=（
），
∴cosplayβ=
=
=
．
故答案为：．
5．函数y=3，（﹣1≤x≤0）的反函数是______________________________________________________________________．
【考试知识点】反函数．
【剖析】依据已知中函数y=3，用y表示x，进而可得原函数的反函数．
【解答】解：∵﹣1≤x≤0时，y=3∈[，1]，
则x2﹣1=log3y，
则x2=log3y+1，
则x=，y∈[，1]，
即函数y=3
，（﹣1≤x≤0）的反函数是y=，x∈[，1]，
故答案为：y=，x∈[，1]
6．函数f（x）=cosplay（sin﹣cosplay）的最小正周期为__________．
【考试知识点】三角函数的周期性及其求法．
【剖析】借助三角函数的倍角公式将函数进行化简，即可得到结论．
【解答】解：f（x）=cosplay（sin﹣cosplay）=cosplaysin﹣cosplay2）=sinx﹣×
=sinx﹣cosplayx﹣
=sin（x），
则函数的周期T=
=2π，
故答案为：2π
7．a，b是不等的两正数，若
=2，则b的取值范围是__________．
【考试知识点】极限及其运算．
【剖析】当a＞b时， ==a，进而求出b的范围．
【解答】解：a，b是不等的两正数，且=2，
须对a，b作如下讨论：
①当a＞b时， =0，则==a，
所以，a=2，因此，b∈（0，2），
②当a＜b时，则=﹣b=2，
而b＞0，故不合题意，舍去．
综合以上讨论得，b∈（0，2），
故答案为：（0，2）．
8．数列{an}的首项为a1=2，且an+1=（a1+a2+…+an）（n∈N），记Sn为数列{an}前n项和，则Sn=____________________．
【考试知识点】数列的求和．
【剖析】察看已知可得，两式相减可得{an}是从第二项开始的等比数列，代入等比数列的前n和公式求解
【解答】解：由题意可得
当n两式相减得，
从而有
，
数列 an从第二项开始的等比数列，公比为
∴Sn=a1+a2+a3+…+an=
故答案为：
9．若向量与夹角为，，
，则
=__________．
【考试知识点】平面向量数目积的运算．
【剖析】运用向量数目积的概念和性质，向量的平方即为模的平方，化简整理解方程即可得到所求值．
【解答】解：向量与夹角为，，，
可得
2﹣•
﹣62=﹣72，
即有||2﹣4||•cosplay﹣6×16=﹣72，
即为||2﹣2||﹣24=0，
解得||=6（﹣4舍去）．
故答案为：6．
10．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•
=1，则λ的值为__________．
【考试知识点】平面向量数目积的运算．
【剖析】依据向量的基本定理，结合数目积的运算公式，打造方程即可得到结论．
【解答】解：∵BC=3BE，DC=λDF，
∴=， =
，
=+=+=+， =+=+
=+，
∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，
∴||=||=2， •=2×2×cosplay120°=﹣2，
∵•=1，
∴（+）•（+）=++（1+
）•=1，
即×4+×4﹣2（1+）=1，
整理得，
解得λ=2，
故答案为：2．
11．（理）若平面向量满足||=1（i=1，2，3，4）且=0（i=1，2，3），则||可能的值有__________个．
【考试知识点】平面向量数目积的运算；向量的模．
【剖析】由=0可得，分类作图可得结论．
【解答】解：由=0可得，
若四向量首尾相连构成正方形时（图1），||=0，
当四向量如图2所示时，||=2，
当四向量如图3所示时，||=2，
故答案为：3
12．设f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥3f（x）恒成立，则实数a的取值范围是__________________________________________________．
【考试知识点】函数恒成立问题．
【剖析】由当x≥0时，f（x）=x2，函数是奇函数，可得当x＜0时，f（x）=﹣x2，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足3f（x）=f（x），再依据不等式f（x+a）≥3f（x）=f（x）在[a，a+2]恒成立，可得x+a≥x在[a，a+2]恒成立，即可得出答案．
【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=x2，
∴此时函数f（x）单调递增，
∵f（x）是概念在R上的奇函数，
∴函数f（x）在R上单调递增．
若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥3f（x）恒成立，
∵3f（x）=3x2=（x）2=f（x），
∴f（x+a）≥f（x）恒成立，
则x+a≥x恒成立，
即a≥﹣x+x=（﹣1）x恒成立．
∵x∈[a，a+2]，
∴[（﹣1）x]max=（﹣1）（a+2），
即a≥（﹣1）（a+2），
解得a≥．
即实数a的取值范围是[，+∞）．
故答案为：[，+∞）．
13．记Sn=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2n]（其中[x]表示低于x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2），则S2017=__________．
【考试知识点】对数的运算性质．
【剖析】借助[x]的性质和对数性质及运算法则得S2017=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log22017]=0×1+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×64+7×128+8×256+9×512+10×994，由此能求出结果．
【解答】解：∵Sn=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2n]（其中[x]表示低于x的最大整数，
∴S2017=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log22017]
=0×1+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×64+7×128+8×256+9×512+10×994=18134．
故答案为：
18134．
14．给定0≤x0＜1对所有整数n＞0，令，则使x0=x6成立的x0的个数为__________．
【考试知识点】数列递推式．
【剖析】由题意依据分段函数的取值范围，则x1=2x0∈[0，），x2=2x1∈[0，
），x3=2x2∈[0，
），x4=2x3∈[0，），x5=2x4∈[0，），x6=2x5，则x6=2x5=22x4=…=26x0=x0，得x0=0，此时 x0 的值有一个；同理，当 x0∈[，）时，x0 的值有22个，当x0∈[，）时，x0 的值有23个，当x0∈[，）时，x0 的值有24个，当x0∈[，1）时，x0 的值有25个，综上，则使 x0=x6 成立的x0的个数为1+1+2+22+23+24+25=64个，
【解答】解：．依题意，，当x0∈[0，
） 时，
x1=2x0∈[0，），x2=2x1∈[0，），x3=2x2∈[0，），x4=2x3∈[0，），x5=2x4∈[0，），x6=2x5，
则x6=2x5=22x4=…=26x0=x0，得x0=0，此时 x0 的值有一个；
当x0∈[，） 时，
x1=2x0∈[，），x2=2x1∈[，），x3=2x2∈[，），x4=2x3∈[，），x5=2x4∈[，1），x6=2x5﹣1，
故有x6=2x5﹣1=22x4﹣1=…=26x0﹣1=x0，得x0=，此时x0 的值有一个；
当x0∈[，） 时，x1=2x0∈[，），x2=2x1∈[，
），x3=2x2∈[，），x4=2x3∈[，1），x5=2x4∈[0，1），x6=2x5﹣1，
当x5∈[0，），x6=2x5=2（2x4﹣1）=…=26x0﹣2=x0，得：x0=，
当x5∈[，1），x6=2x5=2（2x4﹣1）﹣1=…=26x0﹣3=x0，得：x0==，
此时x0 的值有2个；
同理，当 x0∈[，）时，x0 的值有22个，
当x0∈[，）时，x0 的值有23个，
当x0∈[，）时，x0 的值有24个，
当x0∈[，1）时，x0 的值有25个，
综上，则使 x0=x6 成立的x0的个数为1+1+2+22+23+24+25=64个，
故答案为：64．
2、选择题（每题5分，满分20分）
15．在△ABC中，“cosplayA+sinA=cosplayB+sinB”是“C=90°”的（）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【考试知识点】充要条件．
【剖析】对两个条件，“cosplayA+sinA=cosplayB+sinB”与“C=90°”的关系，结合三角函数的概念，对选项进行判断
【解答】解：“C=90°”成立时，有A+B=90°，故肯定有“cosplayA+sinA=cosplayB+sinB”成立
又当A=B时cosplayA+sinA=cosplayB+sinB”成立，即“cosplayA+sinA=cosplayB+sinB”得不出“C=90°”成立
所以“cosplayA+sinA=cosplayB+sinB”是“C=90°”的必要非充分条件
故选B．
16．函数f（x）=cosplay（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）
A．（kπ﹣，kπ+），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z
C．（k﹣，k﹣），k∈Z D．（2k﹣，2k+），k∈Z
【考试知识点】余弦函数的图象．
【剖析】依据图象求出函数的分析式，结合三角函数的性质即可得到结论．
【解答】解：从图象可以看出：图象过相邻的两个零点为（，0），（，0），
可得：T=2×=2，
∴ω==π，
∴f（x）=cosplay（πx+φ），将点（，0）带入可得：cosplay（+φ）=0，
令+φ=，可得φ=，
∴f（x）=cosplay（πx+），
由，单点递减（k∈Z），
解得：2k﹣≤x≤2k+，k∈Z．
故选D
17．已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，记S=•+•+•+•+•，Smin表示S所大概取值中的最小值，则下列命题中
（1）S有5个不一样的值；（2）若⊥则Smin与||无关；（3）若∥则Smin与||无关；（4）若||＞4||，则Smin＞0；（5）若||=2||，Smin=8||2，则与的夹角为．正确的是（）
A．（1）（2） B．（2）（4） C．（3）（5） D．（1）（4）
【考试知识点】平面向量数目积的运算．
【剖析】依题意，可求得S有3种结果：①S=2+3；②S=；③S=4．可判断（1）错误；进一步剖析有S1﹣S2=S2﹣S3=，即S中最小为S3；再对（2）（3）（4）（5）逐一剖析即可得答案．
【解答】解：∵xi，yi（i=1，2，3，4，5）均由2个和3个排列而成，
∴S=xiyi可能状况有三种：①S=2+3；②S=；③S=4．故（1）错误；
∵S1﹣S2=S2﹣S3=，∴S中最小为S3．
若，则Smin=S3=，与||无关，故（2）正确；
若，则Smin=S3=4，与||有关，故（3）错误；
若||＞4||，则Smin=S3=4||•||cosplayθ+＞﹣4||•||+＞﹣+=0，故（4）正确；
若||=2||，Smin=S3=8cosplayθ+4=8，
∴2cosplayθ=1，∴θ=，
即与的夹角为，（5）错误．
综上所述，命题正确的是（2）（4），
故选：B．
18．记[x]为低于实数x的最大整数，比如：[2]=2，[1.5]=1，[﹣0.3]=﹣1，设a为正整数，数列{xn}满足：x1=a，
，现有下列命题：
①当a=5时，数列{xn}的前3项依次为5，3，2；
②对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时，总有xn=xk；
③当n≥1时，；
④对某个正整数k，若xk+1≥xk，则；
其中的真命题个数为（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考试知识点】命题的真伪判断与应用．
【剖析】根据给出的概念对四个命题结合数列的常识逐一进行判断真伪．对于①：列举即可；对于②：需举反例；对于③，可用数学总结法加以证明；对于④：可由总结推理判断其正误．
【解答】解：对于①：当a=5时，x1=5，x2==3，x3==2，故①正确；
对于②：当a=1时，x2==1，x3=1，xk恒等于[]=1；
当a=2时，x1=2，x2==1，x3==1，
∴当k≥2时，恒有xk=[]=1；
当a=3时，x1=3，x2=2，x3=1，x4=2，x5=1，x6=2，x7=1，…，
此时数列{xn}除第一项外，从第二项起未来的项以2为周期重复出现，
因此没有正整数k，使得n≥k时，总有xn=xk，故②不正确；
对于③：在xn+[]中，当为正整数时，xn+[]=xn+≥2，
∴xn+1=≥[]=[]；
当不是正整数时，令[]=﹣t，t为的小数部分，
0＜t＜1，xn+1==＞[]=[﹣]=[]，
∴xn+1≥[]，∴xn≥[]，∴xn＞﹣1，故③正确；
由以上论证知，存在某个正整数k，若xk+1≥xk，
则当n≥k时，总有xn=[]，故④正确．
故选：B
3、答卷（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知函数
（1）求函数f（x）的值域，并写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）若，且，计算cosplay2θ的值．
【考试知识点】三角函数中的恒等变换应用；二倍角的余弦．
【剖析】（1）借助二倍角公式、辅助角公式化简函数，依据角的范围，即可求函数f（x）的值域，借助正弦函数的单调性，即可求得函数f（x）的单调递增区间；
（2）由，，可得=，再借助角的变换计算cosplay2θ的值．
【解答】解：（1）…
因为，
∴函数f（x）的值域为[﹣2，2]…
由得
∴函数f（x）的单调的增区间为，k∈Z…
（2）∵，…
∴，
∴…
∵，
∴=
∴…
∴…
=…
20．“活水围网”养鱼技术具备养殖密度高、经济效益好的特征．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在肯定的条件下，每尾鱼的平均成长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数．当x低于4（尾/立方米）时，v的值为2（千克/年）；当4≤x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20（尾/立方米）时，因缺氧等缘由，v的值为0（千克/年）．
（1）当0＜x≤20时，求函数v（x）的表达式；
（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年成长量（单位：千克/立方米）f（x）=x•v（x）能达到最大，并求出最大值．
【考试知识点】函数模型的选择与应用．
【剖析】（1）由题意：当0＜x≤4时，v（x）=2．当4＜x≤20时，设v（x）=ax+b，v（x）=ax+b在[4，20]是减函数，由已知得
，能求出函数v（x）．
（2）依题意并由（1），得f（x）=
，当0≤x≤4时，f（x）为增函数，由此能求出fmax（x）=f（4），由此能求出结果．
【解答】解：（1）由题意：当0＜x≤4时，v（x）=2．…
当4＜x≤20时，设v（x）=ax+b，显然v（x）=ax+b在[4，20]是减函数，
由已知得，
解得…
故函数v（x）=
…
（2）依题意并由（1），
得f（x）=
，…
当0≤x≤4时，f（x）为增函数，
故fmax（x）=f（4）=4×2=8．…
当4≤x≤20时，f（x）=﹣=﹣=﹣+，
fmax（x）=f（10）=12.5．…
所以，当0＜x≤20时，f（x）的最大值为12.5．
当养殖密度为10尾/立方米时，
鱼的年成长量能达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．…
21．已知函数f（x）=2sin（+）sin（﹣）﹣sin（π+x），且函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=对称．
（1）若存在x∈[0，），使等式[g（x）]2﹣mg（x）+2=0成立，求实数m的最大值和最小值
（2）若当x∈[0，]时不等式f（x）+ag（﹣x）＞0恒成立，求a的取值范围．
【考试知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【剖析】（1）先求出f（x），g（x）的分析式，确定g（x）∈[1，2]，等式[g（x）]2﹣mg（x）+2=0，可化为m=y+，即可求实数m的最大值和最小值
（2）当x∈[0，]时，f（x）∈[﹣，1]，g（﹣x）∈[﹣1，1]，借助当x∈[0，]时不等式f（x）+ag（﹣x）＞0恒成立，求a的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）=sin（x+）+sinx=cosplayx+sinx=2sin（x+）．
函数y=g（x）的图象上取点（x，y），关于直线x=对称点的坐标为（﹣x，y），
代入f（x）=2sin（x+），可得y=2sin（﹣x），
x∈[0，），则﹣x∈[，]，∴y∈[1，2]，
等式[g（x）]2﹣mg（x）+2=0，可化为m=y+，
∴y=时，m的最小值为2；m=1或2时，m的最大值为3；
（2）当x∈[0，]时，f（x）∈[﹣，1]，g（﹣x）∈[﹣1，1]，
∵当x∈[0，]时不等式f（x）+ag（﹣x）＞0恒成立，
∴a
或a．
22．设Sn是各项均为非零实数的数列{an}的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：{an}是等差数列；命题q：等式对任意n（n∈N*）恒成立，其中k，b是常数．
（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；
（2）对于（1）中的k与b，问p是不是为q的必要条件，请说明理由；
（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{an}满足条件，试求Sn的最大值．
【考试知识点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．
【剖析】（1）设{an}的公差为d，借助裂项法原等式可化为（﹣+﹣+…+﹣）=，整理可得（k﹣1）n+b=0对于n∈N*恒成立，从而可求得k，b的值；
（2）当k=1，b=0时，假设p是q的必要条件，分当n=1时，当n≥2时，当n≥3时讨论即可判断结论是不是正确；
（3）由+≤M，可设a1=rcosplayθ，an+1=rsinθ，代入求和公式Sn=，借助三角函数的有界性即可求得其最大值．
【解答】解：（1）设{an}的公差为d，则原等式可化为（﹣+﹣+…+﹣）=，
所以•=，
即（k﹣1）n+b=0对于n∈N*恒成立，所以k=1，b=0．…
（2）当k=1，b=0时，假设p是q的必要条件，即“若++…+=①对于任意的n（n∈N*）恒成立，则{an}为等差数列”．
当n=1时， =显然成立．…
当n≥2时，若++…+=②，
由①﹣②得， =（﹣），即nan﹣（n﹣1）an+1=a1③．
当n=2时，a1+a3=2a2，即a1、a2、a3成等差数列，
当n≥3时，（n﹣1）an﹣1﹣（n﹣2）an=a1④，即2an=an﹣1+an+1．所以{an}为等差数列，即p是q的必要条件．…
（3）由+≤M，可设a1=rcosplayθ，an+1=rsinθ，所以r≤．
设{an}的公差为d，则an+1﹣a1=nd=rsinθ﹣rcosplayθ，
所以d=，
所以an=rsinθ﹣，
Sn==r≤•=，
所以Sn的最大值为…
23．已知λ，μ为常数，且为正整数，λ为质数且大于2，无穷数列{an}的各项均为正整数，其前n项和为Sn，对任意正整数n，2Sn=λan﹣μ，数列{an}中任意两不同项的和构成集合A．
（1）证明无穷数列{an}为等比数列，并求λ的值；
（2）假如2010∈A，求μ的值；
（3）当n≥1，设集合中元素的个数记为bn，求bn．
【考试知识点】集合的表示法．
【剖析】（1）Sn=λan﹣μ．当n≥2时，Sn﹣1=λan﹣1﹣μ，可得为正整数，即可得出正整数λ．
（2）由（1）可得：Sn=2an﹣μ，可得an=μ•2n﹣1，因此A={μ（2i﹣1+2j﹣1）|1≤i＜j，i，j∈N*}，因为2015∈A，可得2015=μ（2i﹣1+2j﹣1）=μ•2i﹣1（1+2j﹣i）=5×13×31，借助2i﹣1为偶数时，上式不成立，因此必有2i﹣1=1，可得i=1，即可得出j，μ．
（3）当n≥1时，集合集合，即即5μ•3n﹣1＜μ（3i﹣1+3j﹣1）＜5μ•3n，1≤i＜j，i，j∈N*Bn中元素的个数，等价于满足5•3n＜3i+3j＜5•3n+1的不同解（i，j），只有j=n+2才成立，借助5•3n＜31+3n+2＜32+3n+2＜…＜3n+3n+2＜3n+1+3n+2=4•3n+1＜5•3n+1，即可得出．（n∈N*）．
【解答】解：（1）当n≥2时，2Sn=λan﹣μ，2Sn﹣1=λan﹣1﹣μ，两式相减得：2an=λan﹣λan﹣1（λ为质数且大于2），，所以{an}为等比数列，又{an}各项均为正整数，则为正整数，λ为质数，则λ=3
（2）由（1）得：2Sn=3an﹣μ，当n=1时，a1=μ，则
所以A={μ（3i﹣1+3j﹣1）|1≤i＜j，i，j∈N*}
假如2010∈A，则2010=μ（3i﹣1+3j﹣1）=μ3i﹣1（1+3j﹣i）=2×3×5×67
由于j﹣i＞0，则1+3j﹣i必为不小于4的偶数，则
因1+3j﹣i=2×3时，无解；因1+3j﹣i=2×67时，无解；因1+3j﹣i=2×3×5，无解；
因1+3j﹣i=2×3×67，无解；因1+3j﹣i=2×5×67，无解；
因1+3j﹣i=2×3×5×67=2010，无解；
当1+3j﹣i=2×5⇒j﹣i=2，μ•3i﹣1=201=3×67，
当i﹣1=1时，μ=67，所以2010=67（32﹣1+34﹣1）∈A
当i﹣1=0时，μ=201，所以2010=201（31﹣1+33﹣1）∈A
综上，μ=67或μ=201
（3）当n≥1时，
即5μ•3n﹣1＜μ（3i﹣1+3j﹣1）＜5μ•3n，1≤i＜j，i，j∈N*Bn中元素的个数，等价于满足5•3n＜3i+3j＜5•3n+1的不同解（i，j）
假如j＞n+2，则3j+3i≥3i+3n+3=3i+9•3n+1＞5•3n+1，矛盾．
假如j＜n+2，则3j+3i≤3i+3n+1≤3n+3n+1≤4•3n＜5•3n，矛盾．
从而，j=n+2
又由于（31+3n+2）﹣5•3n=3+4•3n＞0
所以5•3n＜31+3n+2＜32+3n+2＜…＜3n+3n+2＜3n+1+3n+2=4•3n+1＜5•3n+1
即i=1，2，…，n，n+1，共n+1个不一样的解（i，j），即共n+1个不同x∈Bn，所以．
