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专题03一元二次方程及应用
【考试知识点1】一元二次方程的根的求值问题
【例1】（2019•兰州）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣6
【答案】A
【分析】把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0，
所以a+2b＝﹣1，
所以2a+4b＝2（a+2b）＝2×（﹣1）＝﹣2．
故选：A．
点睛:本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【变式1-1】（2019•遂宁）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
【答案】D
【分析】∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，
∴a2﹣1＝0，且a﹣1≠0，
则a的值为：a＝﹣1．
故选：D．
点睛:此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不可以为零．
【变式1-2】（2019•甘肃）若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）
A．﹣1 B．0 C．1或﹣1 D．2或0
【答案】A
【分析】把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，
解得：k＝﹣1，
故选：A．
点睛:此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【考试知识点2】配办法解一元二次方程
【例2】（2019•南通）用配办法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（）
A．（x+4）2＝﹣9 B．（x+4）2＝﹣7 C．（x+4）2＝25 D．（x+4）2＝7
【答案】D
【分析】方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，
配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，
故选：D．
点睛:此题考查知道一元二次方程﹣配办法，熟练学会完全平方公式是解本题的重点．
【变式2-1】（2019•金华）用配办法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（）
A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1
【答案】A
【分析】用配办法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，
故选：A．
点睛:此题考查知道一元二次方程﹣配办法，熟练学会完全平方公式是解本题的重点．
【考试知识点3】因式分解法解一元二次方程
【例3】（2019•桂林）一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是______________________________．
【答案】x1＝3，x2＝2
【分析】x﹣3＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝3，x2＝2．
故答案为x1＝3，x2＝2．
点睛:本题考查知道一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是借助因式分解求出方程的解的办法，这种办法方便易用，是解一元二次方程最常见的办法．
【变式3-1】（2019•十堰）对于实数a，b，概念运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝__________．
【答案】﹣3或4
【分析】依据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，
（2m﹣1）2﹣49＝0，
（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，
2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，
所以m1＝﹣3，m2＝4．
故答案为﹣3或4．
点睛:本题考查知道一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是借助因式分解求出方程的解的办法，这种办法方便易用，是解一元二次方程最常见的办法．
【变式3-2】（2019•扬州）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是____________________．
【答案】x1＝2，x2＝1．
【分析】x（x﹣2）＝x﹣2，
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
x﹣2＝0，x﹣1＝0，
x1＝2，x2＝1，
故答案为：x1＝2，x2＝1．
点睛:本题考查知道一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的重点．
【考试知识点4】一元二次方程的辨别式问题
【例4】（2019•铁岭）若关于x的一元二次方程ax2﹣8x+4＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________．
【答案】a＜4且a≠0
【分析】由题意可知：△＝64﹣16a＞0，
∴a＜4，
∵a≠0，
∴a＜4且a≠0，
故答案为：a＜4且a≠0
点睛:本题考查根的辨别式，解题的重点是熟练运用根的辨别式，本题是基础题型．
【变式4-1】（2019•宁夏）已知一元二次方程3x2+4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围____________________．
【答案】k
．
【分析】∵方程3x2+4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即42﹣4×3×（﹣k）＞0，
解得k，
故答案为：k．
点睛:本题考查根的辨别式，总结：一元二次方程根的状况与辨别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没实数根．
【变式4-2】（2019•黄石）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．
【分析】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根，
∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0，
解得：m≤2．
（2）∵方程x2﹣6x+（4m+1）＝0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝42，即32﹣16m＝16，
解得：m＝1．
点睛:本题考查了根与系数的关系与根的辨别式，解题的重点是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）借助根与系数的关系结合|x1﹣x2|＝4，找出关于m的一元一次方程．
【考试知识点5】一元二次方程的根与系数的关系问题
【例5】（2019•十堰）已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求a的取值范围；
（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．
【答案】 a＜2； ﹣1，0，1．
【分析】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，
解得a＜2；
（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，
∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，
∴36﹣3（2a+5）≤30，
∴a
，∵a为整数，
∴a的值为﹣1，0，1．
点睛:本题主要考查根与系数的关系及根的辨别式，借助根的辨别式求得k的取值范围是解题的重点，注意方程根的概念的运用．
【变式5-1】（2019•绥化）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．
【答案】 k的取值范围为k
k的值为1．
【分析】（1）当k＝0时，原方程为﹣3x+1＝0，
解得：x
，
∴k＝0符合题意；
当k≠0时，原方程为一元二次方程，
∵该一元二次方程有实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，
解得：k．
综上所述，k的取值范围为k．
（2）∵x1和x2是方程kx2﹣3x+1＝0的两个根，
∴x1+x2
，x1x2
．
∵x1+x2+x1x2＝4，
∴
4，
解得：k＝1，
经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意．
∴k的值为1．
点睛:本题考查了根的辨别式、根与系数的关系、一元二次方程的概念、解一元一次方程与解分式方程，解题的重点是：（1）分k＝0及k≠0两种状况，找出k的取值范围；（2）借助根与系数的关系结合x1+x2+x1x2＝4，找出关于k的分式方程．
【考试知识点6】一元二次方程的增长率问题
【例6】（2019•大连）某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元
（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；
（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年村该村的人均收入是多少元？
【答案】 2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%
预测2019年村该村的人均收入是26620元
【分析】（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，
依据题意得：20000（1+x）2＝24200，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%．
（2）24200×（1+10%）＝26620（元）．
答：预测2019年村该村的人均收入是26620元．
点睛:本题考查了一元二次方程的应用，解题的重点是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）依据数目关系，列式计算．
【变式6-1】（2019•贺州）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，进步了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．
（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
（2）若年平均增长率维持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是不是能达到4200元？
【答案】 该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%
2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元
【分析】（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，
依题意，得：2500（1+x）2＝3600，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%．
（2）3600×（1+20%）＝4320（元），
4320＞4200．
答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元．
点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的重点．
【考试知识点7】一元二次方程的面积问题
【例7】（2019•徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？
【答案】当剪去正方形的边长为
cm时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2．
【分析】设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，高为xcm，
依题意，得：2×[（30﹣2x）+（20﹣2x）]x＝200，
整理，得：2x2﹣25x+50＝0，
解得：x1
，x2＝10．
当x＝10时，20﹣2x＝0，不合题意，舍去．
答：当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2．
点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的重点．
【变式7-1】（2019•襄阳）改变小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？
【答案】小路的宽应为1m．
【分析】设小路的宽应为xm，
依据题意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，
解得：x1＝1，x2＝16．
∵16＞9，
∴x＝16不符合题意，舍去，
∴x＝1．
答：小路的宽应为1m．
点睛:本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的重点．
【考试知识点8】一元二次方程的销售问题
【例8】（2019•东营）为加快新旧动能转换，提升公司经济效益，某公司决定对最近研发出的一种电子商品进行降价营销，使生产的电子商品可以准时售出，依据市场调查：这种电子商品销售单价定为200元时，天天可售出300个；若销售单价每减少1元，天天可多售出5个．已知每一个电子商品的固定本钱为100元，问这种电子商品降价后的销售单价为多少元时，公司天天可获利32000元？
【答案】这种电子商品降价后的销售单价为180元时，公司天天可获利32000元．
【分析】设降价后的销售单价为x元，则降价后天天可售出[300+5（200﹣x）]个，
依题意，得：（x﹣100）[300+5（200﹣x）]＝32000，
整理，得：x2﹣360x+32400＝0，
解得：x1＝x2＝180．
180＜200，符合题意．
答：这种电子商品降价后的销售单价为180元时，公司天天可获利32000元．
点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的重点．
【变式8-1】（2019•安顺）安顺某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让客户得到更大的便宜，现决定降价销售，已知这种干果销量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
【答案】商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．
【分析】（1）设一次函数分析式为：y＝kx+b
当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140；
∴
，
解得：
，
∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100；
（2）由题意得：
（60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090，
整理得：x2﹣10x+9＝0，
解得：x1＝1．x2＝9，
∵让客户得到更大的便宜，
∴x＝9，
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．
点睛:本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用；由题意列出方程组或方程是解题的重点．
1．（2019•滨州）用配办法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0时，下列变形正确的是（）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝3
【答案】D
【分析】x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，
（x﹣2）2＝3，
故选：D．
点睛:本题考查知道一元二次方程，能正确配方是解此题的重点．
2．（2019•营口）若关于x的方程kx2﹣x
0有实数根，则实数k的取值范围是（）
A．k＝0 B．k
且k≠0 C．k D．k
【答案】C
【分析】当k≠0时，△＝1+4k
1+3k≥0，
∴k
，
∴k且k≠0，
当k＝0时，
此时方程为﹣x
0，满足题意，
故选：C．
点睛:本题考查一元二次方程，解题的重点是正确理解根的辨别式，本题是基础题型．
3．（2019•丹东）等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（）
A．8 B．9 C．8或9 D．12
【答案】B
【分析】当等腰三角形的底边为2时，
此时关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的有两个相等实数根，
∴△＝36﹣4k＝0，
∴k＝9，
此时两腰长为3，
∵2+3＞3，
∴k＝9满足题意，
当等腰三角形的腰长为2时，
此时x＝2是方程x2﹣6x+k＝0的其中一根，
∴4﹣12+k＝0，
∴k＝8，
此时另外一根为：x＝4，
∵2+2＝4，
∴不可以组成三角形，
综上所述，k＝9，
故选：B．
点睛:本题考查一元二次方程，解题的重点是熟练运用一元二次方程的解法与等腰三角形的性质，本题是中等题型．
4．（2019•包头）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（）
A．34 B．30 C．30或34 D．30或36
【答案】A
【分析】当a＝4时，b＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+b＝12，
∴b＝8不符合；
当b＝4时，a＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+a＝12，
∴a＝8不符合；
当a＝b时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴12＝2a＝2b，
∴a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34；
故选：A．
点睛:本题考查一元二次方程根与系数的关系；依据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是重点．
5．（2019•荆州）若一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b＝0的根的状况是（）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．没办法确定
【答案】A
【分析】∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，
∴k＞0，b≤0，
∴△＝k2﹣4b＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
点睛:本题考查了根的辨别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
6．（2019•遵义）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】D
【分析】∵x1为一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴x12﹣3x1+1＝0，
∴x12＝3x1﹣1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，
依据题意得x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．
故选：D．
点睛:本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2
．
7．（2019•鸡西）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每一个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每一个支干长出的小分支个数是（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】设这种植物每一个支干长出x个小分支，
依题意，得：1+x+x2＝43，
解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．
故选：C．
点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的重点．
8．（2019•朝阳）一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的状况是（）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没实数根 D．没办法判断
【答案】A
【分析】∵△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0，
∴方程有两个不相等的两个实数根．
故选：A．
点睛:本题考查了根的辨别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
9．（2019•湘潭）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（）
A．4 B．2 C．1 D．﹣4
【答案】A
【分析】∵方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×c＝16﹣4c＝0，
解得：c＝4．
故选：A．
点睛:本题考查了根的辨别式与解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的辨别式得出关于c的一元一次方程是解题的重点．
10．（2019•资阳）a是方程2x2＝x+4的一个根，则代数式4a2﹣2a的值是__________．
【答案】8
【分析】∵a是方程2x2＝x+4的一个根，
∴2a2﹣a＝4，
∴4a2﹣2a＝2（2a2﹣a）＝2×4＝8．
故答案为：8．
点睛:此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题重点．
11.（2019•济宁）已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是__________．
【答案】﹣2
【分析】∵x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，
∴x1x2
2，
∴1×x2＝﹣2，
则方程的另一个根是：﹣2，
故答案为﹣2．
点睛:此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的重点．
12．（2019•抚顺）若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是______________________________．
【答案】k≠0且k≤1
【分析】由题意可知：△＝4﹣4k≥0，
∴k≤1，
∵k≠0，
∴k≠0且k≤1，
故答案为：k≠0且k≤1；
点睛:本题考查根的辨别式，解题的重点是熟练运用根的辨别式，本题是基础题型．
13．（2019•青海）某种药品原价每盒60元，因为医疗政策改革，价格经过两次下调后目前价格每盒48.6元，则平均每次下调的百分率为__________．
【答案】10%
【分析】设平均每次降价的百分比是x，依据题意得：
60（1﹣x）2＝48.6，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），
答：平均每次降价的百分比是10%；
故答案为：10%．
点睛:本题考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数目关系为a（1±x）2＝b．
14．某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年上升，明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为__________．
【答案】20%
【分析】设这两年中投入资金的平均年增长率是x，由题意得：
5（1+x）2＝7.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意舍去）．
答：这两年中投入资金的平均年增长率约是20%．
故答案是：20%．
点睛:本题考查了一元二次方程中增长率的常识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量．
15．（2019•呼和浩特）用配办法求一元二次方程（2x+3）（x﹣6）＝16的实数根．
【答案】x1，x2．
【分析】原方程化为一般形式为2x2﹣9x﹣34＝0，
x2
x＝17，
x2x
17
，
（x
）2
，
x±
，
所以x1，x2．
点睛:本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常见的办法有直接开平办法，配办法，公式法，因式分解法，要依据方程的特征灵活使用适合的办法．
16．（2019•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．
【分析】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，
解得：a＜3，
∵a为正整数，
∴a＝1，2；
（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，
∵x12+x22﹣x1x2＝16，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，
∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，
解得：a1＝﹣1，a2＝6，
∵a＜3，
∴a＝﹣1．
点睛:本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的辨别式，先看出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的重点．
17（2019•贵港）为了满足师生的阅读需要，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．
（1）求这两年藏书的每年平均增长率；
（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的每年平均增长率，那样到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？
【分析】（1）设这两年藏书的每年平均增长率是x，
5（1+x）2＝7.2，
解得，x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
答：这两年藏书的每年平均增长率是20%；
（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（7.2﹣5）×20%＝0.44（万册），
到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：100%＝10%，
答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．
点睛:本题考查一元二次方程的应用，解答本题的重点是明确题意，列出相应的方程，借助方程的常识解答，这是一道典型的增长率问题．
18．（2019•南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，需要扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充地区的扩建成本每平米30元，扩建后在原广场和扩充地区都铺设地板砖，铺设地板砖成本每平米100元．假如计划总成本642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
【分析】设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，
依题意得：3x•2x•100+30（3x•2x﹣50×40）＝642000
解得x1＝30，x2＝﹣30（舍去）．
所以3x＝90，2x＝60，
答：扩充后广场的长为90m，宽为60m．
点睛:题考查了列二元一次方程解实质问题的运用，总价＝单价×数目的运用，解答时找准题目中的数目关系是重点．
19．（2019•长沙）日前，长沙教育局颁布《长沙中小学教师志愿辅导工作推行建议》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．
（1）假如第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）根据这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
【分析】（1）设增长率为x，依据题意，得
2（1+x）2＝2.42，
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．
答：增长率为10%．
（2）2.42（1+0.1）＝2.662（万人）．
答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次．
点睛:本题考查了一元二次方程的应用，解题重点是要了解题目的意思，依据题目给出的条件，找出适合的等量关系，列出方程，再求解．
20．（2019•衡阳）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）假如k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
【分析】（1）依据题意得△＝（﹣3）2﹣4k≥0，
解得k；
（2）k的最大整数为2，
方程x2﹣3x+k＝0变形为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，
∴当x＝1时，m﹣1+1+m﹣3＝0，解得m
；
当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1，
而m﹣1≠0，
∴m的值为
．
点睛:本题考查了根的辨别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
