第5课时平面向量的坐标运算、
平面向量共线的坐标表示
基础达标
1.下列说法中正确的个数是.
①向量在平面直角坐标系xOy内的坐标是唯一的;
②若
=,则的终点坐标是;
③若的终点坐标为,则=.
A.0B.1 C.2 D.3
【分析】由于i,j为正交基底,所以①正确;向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体地方无关,只与其相对地方有关,故②③不正确.
【答案】B
2.已知a=,b=,当a∥b时,实数x的值是.
A.3 B.4 C.5 D.6
【分析】由于a=,b=,且a∥b,所以×1-2×2=0,解得x=5.
【答案】C
3.若平面直角坐标系内的两个向量a=,b=,且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c=λa+μb,则实数m的取值范围是.
A. B.
C. D.∪
【分析】由题意知,向量a与b不共线,所以3m-2-2m≠0,即m≠2.
【答案】D
4.已知点A,B,向量
=,则向量
=.
A. B.
C. D.
【分析】设点C的坐标为,∵A,
=,
∴解得
∴点C的坐标为.
又B,∴
=,故选B.
【答案】B
5.已知
=,
=,
=,若A,B,C三点共线,则实数k=__________.
【分析】由题意,得=,=.
由于A,B,C三点共线,所以-6×7=0.
解得k=-2或k=11.
【答案】-2或11
6.设向量绕点O逆时针旋转得到向量,且2+=,则向量=__________.
【分析】设
=,则
=,所以2+==,即
解得
因此,=
.
【答案】
7.已知A,B,C三点的坐标分别为,,,且
=
,
=,求证:
∥.
【分析】设E,F,
依题意有=,=,=.
∵
=
=,
=
=
,
又=,
∴x1=-,y1=
,即E
.
又=,
∴x2=
,y2=0,即F,∴
=
.
∵4×-×=0,
∴∥.
拓展提高
8.已知在▱ABCD中,点A,B,C,则点D的坐标为.
A. B.
C. D.
【分析】设点D的坐标为,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴=
.
又∵=,=,
∴1-x=4且-5-y=0,∴x=-3,y=-5.
故点D的坐标为.
【答案】D
9.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知点A,B,若点C满足=α+β,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C所在直线方程为.
A.3x+2y-11=0 B.2x+y-5=0
C.2x-y=0 D.x+2y-5=0
【分析】设点C,则=,=,=.
由=α+β,得=+=,
于是
消去α,β得x+2y-5=0.
由平面向量共线定理知,当=α+β,α+β=1时,点A,B,C共线.
因此点C的轨迹为直线AB,故所求轨迹方程为x+2y-5=0.
【答案】D
10.若点O为坐标原点,且点A,B,C的坐标分别为,,,则直线AC与直线OB的交点P的坐标为__________.
【分析】设交点P的坐标为,
由于P为直线AC与直线OB的交点,所以点P在直线OB上,
所以与共线.
又=,=,
所以4x-4y=0,即x-y=0,①
同理,
与共线.
由于=,=,
所以×6+2y=0,即6x+2y-24=0,②
联立①②,解得x=3,y=3,故点P的坐标为.
【答案】
11.已知点A,B,点P在直线AB上,且||=2||,求点P的坐标.
【分析】设点P的坐标为,||=2|
|,
当点P在线段AB上时,=2,
∴=2,
∴解得
∴点P的坐标为
.
当点P在线段AB的延长线上时,=-2,
∴=-2,
∴
解得
∴点P的坐标为.
综上所述,点P的坐标为或.
